Как преодолеть тревожность на экзамене?Как быть, если волнение или тревожность мешают Вам сосредоточиться? Несколько простых действий вернут Вас в состояние покоя. Читайте, что нужно делать, в нашей статье.
Виртуальный
Учитель
Учитель
Объём конуса
Вступление
Недавно Вы познакомились с тем, как находить объёмы геометрических тел с помощью определённого интеграла. Вы уже знаете, как таким способом получить формулы для объёмов цилиндра, наклонной призмы и пирамиды. Сегодня мы рассмотрим, как находить объём конуса, зная площадь его основания и высоту. Вы узнаете, чему равен объём конуса, вспомните, что такое усечённый конус, и узнаете, как найти объём усечённого конуса.
Какие темы нужно изучить, чтобы знать эту тему
Теория по теме Объём конуса
Рассмотрим конус с радиусом основания r, вершиной O и центром основания M. Пусть высота конуса равна h. Введём систему координат так, чтобы основание конуса лежало в плоскости x = 0. Рассмотрим сечение конуса плоскостью x = x{|index|0|}. Этим сечением будет круг радиуса r{|index|0|}. Рассмотрим образующую конуса OA. Она пересекает плоскость x = x{|index|0|} в точке A{|index|0|}. Пусть ось конуса OM пересекает плоскость x = x{|index|0|} в точке M{|index|0|}. Пусть . Треугольники OMA и OM{|index|0|}A{|index|0|} подобны. Тогда:
{|frac|r{|index|0|}|r|} = {|frac|h{|index|0|}|h|} {|=>|} r{|index|0|} = {|frac|h{|index|0|}|h|}*r
Площадь сечения конуса перпендикулярной оси абсцисс плоскостью (плоскостью x = x{|index|0|}) будет равна πr{|index|0|}{|pow|2|} = π({|frac|r|h|}*h{|index|0|}){|pow|2|}. Проекцией конуса на ось абсцисс будет отрезок [0;h].
Тогда объём конуса можно найти по следующей формуле:
V = {|dint|π*({|frac|r|h|}*h{|index|0|}){|pow|2|}|x|0|h|} = π*{|frac|r{|pow|2|}|h{|pow|2|}|}*{|frac|h{|index|0|}{|pow|3|}|3|}
Таким образом, объём конуса равен произведению его высоты и площади основания конуса.
r
h
A
r
0
h
0
A
0
M
M
O
z
y
x
Рассмотрим усечённый конус с высотой h и площадями оснований S1 и S2. Объём такого усечённого конуса равен:
Заключение
Наше занятие было посвящено нахождению объёма конуса. Вы узнали, как находить объём конуса с помощью определённого интеграла, используя свойства конуса и подобие треугольников. Кроме того, Вы изучили, как найти объём конуса, зная площадь основания конуса и его высоту, а также, чему равен объём усечённого конуса с известной высотой и площадями оснований.
К вашей цели с Виртуальным учителем
Аккаунт
Учёба
Статистика