Теорема о диагонали прямоугольного параллелепипеда

Теорема о диагонали прямоугольного параллелепипеда является одной из ключевых теорем в стереометрии. Она позволяет вычислить длину диагонали прямоугольного параллелепипеда по трём его измерениям — длине, ширине и высоте. Понимание этой теоремы необходимо для решения различных задач в геометрии, архитектуре, инженерии и других науках, где используются пространственные объекты.

Освоение теоремы о диагонали прямоугольного параллелепипеда станет основой для дальнейшего изучения свойств пространственных фигур и решения более сложных стереометрических задач.

Теорема о диагонали прямоугольного параллелепипеда: Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

d{|pow|2|}=a{|pow|2|}+b{|pow|2|}+c{|pow|2|}, где a, b и c - длины рёбер прямоугольного параллелепипеда, исходящие из одной вершины, а d - его диагональ.

Давайте докажем эту теорему.

Дано: ABCDA{|index|1|}B{|index|1|}C{|index|1|}D{|index|1|} - прямоугольный параллелепипед.

Прямая B{|index|1|}A{|index|1|} перпендикулярна плоскости AA{|index|1|}D, а значит и прямой A{|index|1|}D.

Из этого следует, что △B{|index|1|}A{|index|1|}D прямоугольный.

По теореме Пифагора B{|index|1|}D{|pow|2|}=B{|index|1|}A{|index|1|}{|pow|2|}+A{|index|1|}D{|pow|2|}.

Рассмотрим теперь другой прямоугольный треугольник - △AA{|index|1|}D.

По теореме Пифагора A{|index|1|}D{|pow|2|}=AA{|index|1|}{|pow|2|}+AD{|pow|2|}.

Заметим, что AA{|index|1|}=BB{|index|1|} и AD=B{|index|1|}C{|index|1|} как противоположные стороны в прямоугольном параллелепипеде. 

Значит A{|index|1|}D{|pow|2|}=BB{|index|1|}{|pow|2|}+B{|index|1|}C{|index|1|}{|pow|2|}.

Подставим это значение в полученную ранее формулу и получим:

B{|index|1|}D{|pow|2|}=B{|index|1|}A{|index|1|}{|pow|2|}+BB{|index|1|}{|pow|2|}+B{|index|1|}C{|index|1|}{|pow|2|}.

Что и требовалось доказать!!!

Следствие из теоремы о диагонали прямоугольного параллелепипеда: Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны!

Таким образом, теорема о диагонали прямоугольного параллелепипеда предоставляет мощный инструмент для решения геометрических задач, связанных с вычислением длины диагонали по заданным размерам. Понимание и применение этой теоремы имеет важное значение для дальнейшего изучения стереометрии и решения практических задач в различных областях науки и техники.