Правда ли, что математика – самый сложный предмет?Математика вызывает трудности у многих школьников. Но действительно ли её так трудно понять? Давайте разбираться вместе
Виртуальный
Учитель
Учитель
Усечённый конус. Площадь поверхности усечённого конуса.
Вступление
На одном из предыдущих занятий мы разобрали, что такое конус, его боковая поверхность и площадь его поверхности. Сегодня мы рассмотрим похожее геометрическое тело – усечённый конус. Вы узнаете, как усечённый конус получается из обычного, что представляет собой образующая конуса и что является его высотой и осью. Вы познакомитесь с тем, что такое боковая поверхность усечённого конуса и как её найти. Узнаете, что представляет собой вся поверхность усечённого конуса и как найти площадь поверхности усечённого конуса.
Какие темы нужно изучить, чтобы знать эту тему
Теория по теме Площадь поверхности усечённого конуса
Рассмотрим произвольный конус с вершиной P, основанием ω, центром основания в точке O и радиусом основания r. Пусть основание конуса лежит в плоскости α. Проведём через этот конус секущую плоскость β, параллельную плоскости α. Такая плоскость разбивает конус на две части. Первая часть – конус с вершиной P, основанием ω{|index|1|}, центром основания O{|index|1|} и радиусом r{|index|1|}. Вторая часть – это усечённый конус.
Основаниями усечённого конуса называются основание исходного конуса и круг, полученный в сечении исходного конуса плоскостью. Каждый отрезок образующей исходного конуса, заключённый между основаниями ω{|index|1|} – это образующая усечённого конуса. Поверхность, образованная такими отрезками, называется боковой поверхностью усечённого конуса. Длина отрезка, соединяющего два центра оснований называется высотой усечённого конуса.
Вся поверхность усечённого конуса – это боковая поверхность конуса и два круга, являющиеся его основаниями.
На рисунке показано, как образуется усечённый конус и обозначены основания конуса, образующая конуса, его ось и боковая поверхность конуса.
ω
боковая поверхность
ось
образующая
r
r
1
ω
1
ω
1
ω
P
O
1
O
Найдём площадь боковой поверхности усечённого конуса. Очевидно, что она равна разности между площадью боковой поверхности исходного конуса и площадью боковой поверхности маленького конуса, образующегося при сечении конуса плоскостью.
Пусть дан конус с вершиной P, центром основания O и радиусом r и пусть из него получен усечённый конус с центрами оснований O и O{|index|1|}, радиусами оснований r и r{|index|1|} и образующей A{|index|1|}A. Пусть длина образующей исходного конуса равна l?, длина образующей усечённого конуса равна l и длина образующей маленького конуса с центром основания O{|index|1|} и радиусом r{|index|1|}, равна l{|index|1|}. При этом l? = l + l{|index|1|}. Тогда площадь боковой поверхности усечённого конуса равна:
S{|index|бок|} = πrl? - πr{|index|1|}l{|index|1|} = πr(l + l{|index|1|})- πr{|index|1|}l{|index|1|} = πrl + πl{|index|1|}(r - r{|index|1|})
Теперь выразим l{|index|1|} через r, r{|index|1|}, l. Рассмотрим прямоугольные треугольники PAO и PA{|index|1|}O{|index|1|}. Они подобны по двум равным углам, значит, выполняется следующее соотношение между сторонами:
{|frac|PA{|index|1|}|PA|} = {|frac|AO{|index|1|}|AO|}
Из этого соотношения получаем: {|frac|l{|index|1|}|l + l{|index|1|}|} = {|frac|r{|index|1|}|r|} и значит l{|index|1|} = {|frac|lr{|index|1|}|r - r{|index|1|}|}
Тогда площадь боковой поверхности усечённого конуса равна:
S{|index|бок|} = πrl + πl{|index|1|}(r - r{|index|1|}) = πrl + π{|frac|lr{|index|1|}|r - r{|index|1|}|}(r - r{|index|1|}) = πl(r + r{|index|1|})
Площади оснований усечённого конуса равны S{|index|1|} = πr{|pow|2|} и S{|index|2|} = πr{|index|1|}{|pow|2|}. Площадь поверхности усечённого конуса равна сумме площадей его оснований и площади боковой поверхности:
S{|index|усеч.кон.|} = S{|index|1|} + S{|index|2|} + S{|index|бок|} = πr{|pow|2|} + πr
Заключение
Тема, которую Вы сегодня успешно освоили, это усечённый конус. Вы рассмотрели, как он образуется, узнали, что называют его осью и основаниями. Вы познакомились с тем, что такое образующая усечённого конуса. Кроме того на сегодняшнем занятии Вы узнали, что является боковой поверхностью конуса и как найти её площадь. Вы научились находить площадь поверхности усечённого конуса, зная радиусы его оснований и длину образующей. А теперь давайте закрепим знания и выполним задания от Виртуального Учителя.
К вашей цели с Виртуальным учителем
Аккаунт
Учёба
Статистика