Репетитор по математике или онлайн-тренажёр: что выбратьРепетитор два раза в неделю, а результата нет? Разбираемся, когда без репетитора правда не обойтись, а когда справится тренажёр - и как совместить оба способа для реального прогресса.
Виртуальный
Учитель
Учитель
Усечённый конус. Площадь поверхности усечённого конуса.
Вступление
На одном из предыдущих занятий мы разобрали, что такое конус, его боковая поверхность и площадь его поверхности. Сегодня мы рассмотрим похожее геометрическое тело – усечённый конус. Вы узнаете, как усечённый конус получается из обычного, что представляет собой образующая конуса и что является его высотой и осью. Вы познакомитесь с тем, что такое боковая поверхность усечённого конуса и как её найти. Узнаете, что представляет собой вся поверхность усечённого конуса и как найти площадь поверхности усечённого конуса.
Какие темы нужно изучить, чтобы знать эту тему
Теория по теме Площадь поверхности усечённого конуса
Рассмотрим произвольный конус с вершиной P, основанием ω, центром основания в точке O и радиусом основания r. Пусть основание конуса лежит в плоскости α. Проведём через этот конус секущую плоскость β, параллельную плоскости α. Такая плоскость разбивает конус на две части. Первая часть – конус с вершиной P, основанием ω{|index|1|}, центром основания O{|index|1|} и радиусом r{|index|1|}. Вторая часть – это усечённый конус.
Основаниями усечённого конуса называются основание исходного конуса и круг, полученный в сечении исходного конуса плоскостью. Каждый отрезок образующей исходного конуса, заключённый между основаниями ω{|index|1|} – это образующая усечённого конуса. Поверхность, образованная такими отрезками, называется боковой поверхностью усечённого конуса. Длина отрезка, соединяющего два центра оснований называется высотой усечённого конуса.
Вся поверхность усечённого конуса – это боковая поверхность конуса и два круга, являющиеся его основаниями.
На рисунке показано, как образуется усечённый конус и обозначены основания конуса, образующая конуса, его ось и боковая поверхность конуса.
O
P
ω
образующая
ω
O
1
ω
1
ω
1
r
r
1
ось
боковая поверхность
Найдём площадь боковой поверхности усечённого конуса. Очевидно, что она равна разности между площадью боковой поверхности исходного конуса и площадью боковой поверхности маленького конуса, образующегося при сечении конуса плоскостью.
Пусть дан конус с вершиной P, центром основания O и радиусом r и пусть из него получен усечённый конус с центрами оснований O и O{|index|1|}, радиусами оснований r и r{|index|1|} и образующей A{|index|1|}A. Пусть длина образующей исходного конуса равна l?, длина образующей усечённого конуса равна l и длина образующей маленького конуса с центром основания O{|index|1|} и радиусом r{|index|1|}, равна l{|index|1|}. При этом l? = l + l{|index|1|}. Тогда площадь боковой поверхности усечённого конуса равна:
S{|index|бок|} = πrl? - πr{|index|1|}l{|index|1|} = πr(l + l{|index|1|})- πr{|index|1|}l{|index|1|} = πrl + πl{|index|1|}(r - r{|index|1|})
Теперь выразим l{|index|1|} через r, r{|index|1|}, l. Рассмотрим прямоугольные треугольники PAO и PA{|index|1|}O{|index|1|}. Они подобны по двум равным углам, значит, выполняется следующее соотношение между сторонами:
{|frac|PA{|index|1|}|PA|} = {|frac|AO{|index|1|}|AO|}
Из этого соотношения получаем: {|frac|l{|index|1|}|l + l{|index|1|}|} = {|frac|r{|index|1|}|r|} и значит l{|index|1|} = {|frac|lr{|index|1|}|r - r{|index|1|}|}
Тогда площадь боковой поверхности усечённого конуса равна:
S{|index|бок|} = πrl + πl{|index|1|}(r - r{|index|1|}) = πrl + π{|frac|lr{|index|1|}|r - r{|index|1|}|}(r - r{|index|1|}) = πl(r + r{|index|1|})
Площади оснований усечённого конуса равны S{|index|1|} = πr{|pow|2|} и S{|index|2|} = πr{|index|1|}{|pow|2|}. Площадь поверхности усечённого конуса равна сумме площадей его оснований и площади боковой поверхности:
S{|index|усеч.кон.|} = S{|index|1|} + S{|index|2|} + S{|index|бок|} = πr{|pow|2|} + πr
Заключение
Тема, которую Вы сегодня успешно освоили, это усечённый конус. Вы рассмотрели, как он образуется, узнали, что называют его осью и основаниями. Вы познакомились с тем, что такое образующая усечённого конуса. Кроме того на сегодняшнем занятии Вы узнали, что является боковой поверхностью конуса и как найти её площадь. Вы научились находить площадь поверхности усечённого конуса, зная радиусы его оснований и длину образующей. А теперь давайте закрепим знания и выполним задания от Виртуального Учителя.
0
Аккаунт
Учёба
Статистика