Правда ли, что математика – самый сложный предмет?Математика вызывает трудности у многих школьников. Но действительно ли её так трудно понять? Давайте разбираться вместе
Виртуальный
Учитель
Учитель
Координаты вектора в пространстве
Вступление
Изучение векторов в трёхмерном пространстве невозможно представить без удобного и точного способа их описания. Если в геометрии мы часто оперируем с векторами визуально — по направлению и длине, то для решения задач аналитически, особенно в физике, инженерии и компьютерной графике, требуется числовое представление вектора. Именно эту функцию выполняют координаты вектора в пространстве.
Координатная запись вектора превращает геометрическую задачу в алгебраическую. Вместо построений и измерений мы можем:
- точно вычислять результаты операций (сложение, вычитание, умножение на число);
- находить длину вектора и угол между векторами;
- проверять коллинеарность и компланарность;
- моделировать движение, силы, поля и другие физические величины в цифровой форме.
Таким образом, координаты — это мост между геометрией и алгеброй, ключевой инструмент аналитической геометрии.
Какие темы нужно изучить, чтобы знать эту тему
Теория по теме Координаты вектора в пространстве
Координаты вектора опираются на:
- понятие разности векторов (вектор {|vector|AB|}={|vector|r{|index|B|}|}-{|vector|r{|index|A|}|});
- декартову систему координат в пространстве с осями O{|index|x|}, O{|index|y|}, O{|index|z|};
- орты {|vector|i|}, {|vector|j|}, {|vector|k|} — единичные векторы, направленные по осям;
- разложение вектора по базису — любая тройка координат — это коэффициенты разложения по стандартному базису.
a
z
a
x
a
y
a
x
A
x
B
y
B
y
A
A
1
(
xA
;yA
;0)
z
A
z
B
B
3
(
0;yb
;zb
)
A
3
(
0;yA
;zA
)
B
1
(
xB
;yB
;0)
B
2
(
xB
;0;zb
)
A
2
(
xA
;0;zA
)
B
A
z
y
x
O
Определение координат вектора
Координаты вектора в пространстве — это числа, равные проекциям этого вектора на координатные оси Ox, Oy, Oz прямоугольной декартовой системы координат.
Любой вектор a в трёхмерном пространстве можно единственным образом представить в виде линейной комбинации ортов (единичных векторов) {|vector|i|}, {|vector|j|}, {|vector|k|}, направленных по осям Ox, Oy, Oz соответственно:
{|vector|a|}=a{|index|x|}{|vector|i|}+a{|index|y|}{|vector|j|}+a{|index|z|}{|vector|z|}.
Числа a{|index|x|}, a{|index|y|} и a{|index|z|} называются координатами вектора {|vector|a|} и записываются в виде упорядоченной тройки:
{|vector|a|}={a{|index|x|};a{|index|y|};a{|index|z|}}.
- a{|index|x|} — абсцисса (проекция на ось Ox),
- a{|index|y|} — ордината (проекция на ось Oy),
- a{|index|z|} — аппликата (проекция на ось Oz).
Нахождение координат вектора по координатам точек
Если вектор {|vector|AB|} задан координатами его начала A(x{|index|A|};y{|index|A|};z{|index|A|}) и концаB(x{|index|B|};y{|index|B|};z{|index|B|}), то его координаты находятся по формулам:
{|vector|AB|}={x{|index|B|}-x{|index|A|};y{|index|B|}-y{|index|A|};z{|index|B|}-z{|index|A|}}.
Геометрический смысл координат
Координаты вектора — это его проекции на координатные оси:
- a{|index|x|} — абсцисса (проекция на ось Ox),
- — ордината (проекция на ось Oy),
- — аппликата (проекция на ось Oz).
Знак координаты показывает, совпадает ли направление проекции с положительным направлением оси:
- если проекция направлена по оси — координата положительна,
- если против — отрицательна.
Действия с векторами в координатной форме
Пусть {|vector|a|}={a{|index|x|}; a{|index|y|}; a{|index|z|}}, {|vector|b|}={b{|index|x|}; b{|index|y|}; b{|index|z|}}, k{|in|}R.
- Сложение векторов: {|vector|a|}+{|vector|b|}={a{|index|x|}+b{|index|x|}; a{|index|y|}+b{|index|y|}; a{|index|z|}+b{|index|z|}}.
- Вычитание векторов: {|vector|a|}-{|vector|b|}={a{|index|x|}-b{|index|x|}; a{|index|y|}-b{|index|y|}; a{|index|z|}-b{|index|z|}}.
- Умножение вектора на число: k*{|vector|a|}={k*a{|index|x|}{|index||}; k*a{|index|y|}{|index||}; k*a{|index|z|}{|index||}}.
Заключение
В ходе изучения темы мы освоили один из ключевых инструментов аналитической геометрии — представление вектора в трёхмерном пространстве с помощью координат. Этот подход позволяет перейти от наглядного, но субъективного геометрического описания к точному, универсальному и вычисляемому алгебраическому методу. Задания от Виртуального Учителя помогут закрепить полученные знания.
К вашей цели с Виртуальным учителем
Аккаунт
Учёба
Статистика