Правда ли, что математика – самый сложный предмет?Математика вызывает трудности у многих школьников. Но действительно ли её так трудно понять? Давайте разбираться вместе
Виртуальный
Учитель
Учитель
Наложения и движения
Вступление
Один из простых способов определить равенство фигур в геометрии – это
наложение. Ранее с его помощью Вы могли доказать первый признак равенства
треугольников. Определение наложению не давалось, так как это базовое понятие.
Свойства наложения используются в жизни повсеместно. Главный смысл – получить
одинаковые детали. Например, выкройку накладывают на ткань для получения
детали, трафарет накладывают на рисунок, совмещают две детали для сравнения и
так далее. Разберём наложение с точки зрения геометрии.
Какие темы нужно изучить, чтобы знать эту тему
Теория по теме Наложения и движения
В случае с равными фигурами при наложении каждая точка одной
фигуры совпадает с соответствующей точкой другой.
Наложение – это отражение плоскости на себя.
Но не всякое отображение плоскости на себя можно считать
наложением, а только такое, которое удовлетворяет некоторым аксиомам:
1.
Если
при наложении совмещаются концы двух отрезков, то совмещаются и сами отрезки.
2.
На
любом луче от его начала можно отложить только один отрезок, равный данному.
3.
От
любого луча в данную плоскость можно отложить только один угол, равный данному
неразвернутому углу.
4.
Любой
угол АВС можно совместить с равным ему углом ОМК двумя способами: 1) луч АВ
наложится на луч ОМ, луч ВС наложится на луч МК; 2) луч АВ наложится на луч МК,
луч ВС наложится на луч ОМ.
5.
Любая
фигура равна самой себе.
6.
Если фигура
Ф=Ф{|index|1|}, то и Ф{|index|1|}=Ф.
7.
Если
фигура, а фигура Ф{|index|1|}=Ф{|index|2|}, то Ф=Ф{|index|2|}.
При наложении различные точки
отображаются в различные точки.
Доказательство:
Пусть это не так, при наложении точки А и В отображаются в одну
точку О. При наложении получаем фигуру Ф с точками А и В равную фигуре Ф1 с
точкой О. По аксиоме фигура Ф1 должна отражаться на фигуру Ф. Но это
невозможно, поскольку при любом отображении каждой точке соответствует лишь
одна точка, так как наложение – это отображение.
Сделаем вывод:
Любое наложение есть движение плоскости.
Верно и обратное утверждение.
Любое движение есть наложение.
Рассмотрите треугольник АВС.
A
1
М
C
B
A
М
1
М
2
B
1
С
1
Возьмем произвольное движение и обозначим его буквой
g.
При движении g треугольник АВС отобразится на равный
ему треугольник A{|index|1|}B{|index|1|}C{|index|1|}. Согласно определению
равных треугольников есть такое наложение ƒ, при котором вершины А, В и С
соответственно отображаются на вершины A{|index|1|}, B{|index|1|} и .
Для доказательства утверждения достаточно доказать,
что движение g совпадает с наложением ƒ.
Пусть это не так. Тогда на плоскости существует
некоторая точка М, которая при движении g отобразится в точку M{|index|1|}, а при
наложении ƒ в точку M{|index|2|}, при этом M{|index|1|} и M{|index|2|} не совпадают,
По определению отображения имеем:
AM=A{|index|1|}M{|index|1|}=A{|index|1|}M{|index|2|},
Получаем, что точки , и равноудалены от точек и и лежат на срединном перпендикуляре. Но этого не может быть, так как
вершины любого треугольника не лежат на одной прямой.
Таким образом, движение g является наложением.
Заключение
Теперь Вы
знаете, что наложение – это тип движения. Данное утверждение используется при
решении геометрических задач, в том числе они часто входят в состав заданий ОГЭ
и ЕГЭ. Для успешного их решения Вам необходимо запомнить все семь аксиом. В жизни
наложение используют не только в швейном или столярном деле. Это один из
основных инструментов дизайнеров при
создании 3Д-моделей, фотографов при обработке фото и во многих других
современных профессиях.
К вашей цели с Виртуальным учителем
Аккаунт
Учёба