Как преодолеть тревожность на экзамене?Как быть, если волнение или тревожность мешают Вам сосредоточиться? Несколько простых действий вернут Вас в состояние покоя. Читайте, что нужно делать, в нашей статье.
Виртуальный
Учитель
Учитель
Понятие предела последовательности. Окрестность точки
Вступление
Сегодня мы с Вами рассмотрим числовую последовательность, и установим, есть ли предел числовой последовательности? Для этого мы проанализируем её и в процессе рассуждения сделаем важные выводы касательно предела числовой последовательности. Из этого мы выведем определение предела числовой последовательности и дадим к нему все необходимые пояснения. Давайте начинать.
Какие темы нужно изучить, чтобы знать эту тему
Теория по теме Определение предела числовой последовательности
Для наглядного примера возьмем числовую последовательность:
x{|index|n|}={|frac|2|x+1|}.
Выпишем некоторые члены этой последовательности:
x{|index|n|}: {|frac|2|2|}, {|frac|2|3|}, {|frac|2|4|}, {|frac|2|5|}, {|frac|2|6|}, {|frac|2|7|}, {|frac|2|8|},... .
Заметим, что числитель дроби остается неизменным, а знаменатель дроби увеличивается, из этого делаем вывод, что каждый следующий член последовательности меньше предыдущего. Также заметим, что чем больше число n, тем ближе значение дроби к нулю.
В таких случаях говорят, что последовательность сходится.
Если у последовательности нет определенной точки, к которой она стремится, то говорят, что последовательность расходится.
Окрестность точки b - это интервал (b-r; b+r), где r - неотрицательный радиус окрестности. Т.е. другими словами, это область заданного размера слева и справа вблизи точки.
Точка, к которой сходится последовательность, называется предел числовой последовательности. Дадим ему формальное определение.
Определение предела числовой последовательности.
Число b является пределом последовательности, если в любой заранее выбранной окрестности точки b, начиная с некоторого номера, содержатся все члены последовательности.
Обозначается: {|lim|x{|index|n|}|n|{|inf|}|}=b.
Пояснение.
Данное определение предела последовательности на первый взгляд может показаться довольно непростым. Разберем определение на примере нашей последовательности x{|index|n|}={|frac|2|x+1|}.
Согласно определению, число 0 является пределом данной числовой последовательности, если в окрестности точки 0 с заранее выбранный радиусом, начиная с некоторого номера содержатся все члены последовательности.
Например, выберем радиус окрестности: r=0,01.
Найдем какой-нибудь член числовой последовательности, который будет находиться в интервале:
(0 - 0,01; 0 + 0,01)=(-0,01; 0,01).
(0 - 0,01; 0 + 0,01)=(-0,01; 0,01).
x{|index|199|}={|frac|2|199+1|}={|frac|2|200|}=0,01,
x{|index|200|}={|frac|2|200+1|}={|frac|2|201|}=0,0099...
Получается, что 200-й член данной арифметической последовательности находится в окрестности точки 0, а так как каждый следующий член последовательности остается положительным и становится меньше предыдущего, то можно говорить, что все последующие члены последовательности лежат в окрестности точки 0.
Также понятно, что если выберем другой радиус окрестности, то все равно найдется член последовательности, начиная с которого, все остальные члены последовательности будут находиться в окрестности точки 0. Значит точка 0 и является пределом последовательности.
Заключение
Сегодня мы узнали, что существует предел числовой последовательности. Мы вывели определение предела последовательности. Это определение необходимо запомнить. После определения мы рассмотрели важные пояснения, которые дают Вам пример рассуждения, последовательного доказательства и прихода к ответу. Для того чтобы Вы могли сразу потренироваться и закрепить в памяти пройденный материал, Виртуальный Учитель подготовил для Вас индивидуальные задания.
К вашей цели с Виртуальным учителем
Аккаунт
Учёба