Правда ли, что математика – самый сложный предмет?Математика вызывает трудности у многих школьников. Но действительно ли её так трудно понять? Давайте разбираться вместе
Виртуальный
Учитель
Учитель
Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике
Вступление
В алгебре, геометрии, физике и химии для решения задач часто используют
понятие пропорциональности. Сегодня Вы познакомитесь с теоремой о
пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике. Знание формулы среднего
пропорционального отрезка позволит Вам легко решать множество геометрических
задач, находить длину катетов или гипотенузы в тех случаях, когда это кажется
невозможным из-за нехватки данных. Формулы значений средних пропорциональных
отрезков помогут Вам.
Какие темы нужно изучить, чтобы знать эту тему
Теория по теме Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике
Определение
среднепропорционального отрезка:
Отрезок х
будет средним пропорциональным между отрезками а и б, если выполняется
равенство {|frac|a|x|}={|frac|x|b|}.
Рассмотрим прямоугольный
треугольник △ABC, где ∠ACD=90°. Проведем высоту из вершины прямого угла
к гипотенузе. Обозначим её СD. Высота СD разделила треугольник
на два меньших прямоугольных треугольника.
C
D
B
A
Теорема 1. Высота прямоугольного
треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее
пропорциональное между отрезками, на которые высота разделила гипотенузу.
Нужно доказать, что {|frac|AB|CD|}={|frac|CD|AD|} или CD{|pow|2|}=AB*AD.
Теорема 2. Каждый катет – это среднее
пропорциональное между гипотенузой и проекцией катета на гипотенузу.
Нужно доказать, что
1) {|frac|AB|AC|}={|frac|AC|AD|} или AC{|pow|2|}=AB*AD;
2) {|frac|AB|BC|}={|frac|BC|BD|} или BC{|pow|2|}=AB*BD.
Для доказательства теорем необходимо, чтобы △ABC, △BCD, △ACD были подобными между собой.
В прямоугольном треугольнике высота, проведённая из
вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных
треугольника, каждый из которых подобен исходному.
Рассмотрим подробнее. ∠A общий, ∠ACB=∠CDA=90°. Значит,
треугольники АВD
и АСD
подобны по первому признаку. Аналогично можно доказать подобие △ABC и △BCD. У них угол В общий, а углы AСB и BDC прямые. Значит, треугольники АВС и
ВСD
подобны по первому признаку.
Также и △BCD
и △ACD
подобны друг другу по двум углам, так как углы ВDС и АDС равные (90°), а ∠CAB=∠BCD.
Вернёмся к доказательству.
Катеты ВD
и СD
сходственны, так как они лежат против равных углов в подобных треугольниках. СD и АD сходственны по тому же признаку.
Как известно, в подобных
треугольниках для сходственных сторон действует следующее правило:
{|frac|BD|CD|}={|frac|CD|AD|}
Из этого равенства по свойству пропорций получаем
следующее: CD{|pow|2|}=BD*AD.
В треугольниках АВС и АСD сходственны стороны АВ
и АС (гипотенузы), АС и АD (катеты).
{|frac|AB|AC|}={|frac|AC|AD|}
Тогда получаем AC{|pow|2|}=AB*AD.
В треугольниках АВС и ВСD сходственны стороны АВ
и ВС (гипотенузы), ВС и ВD (катеты).
{|frac|AB|BC|}={|frac|BC|BD|}
Тогда получаем BC{|pow|2|}=AB*BD.
Заключение
Сегодня Вы познакомились с пропорциональными отрезками в прямоугольном
треугольнике. Теперь у Вас есть еще один способ, кроме теоремы Пифагора, для нахождения
длин всех сторон прямоугольного треугольника. Используя формулы
пропорциональности, для Вас не составит труда вычислить длину гипотенузы по
известному катету и высоте треугольника и не только. Эти знания станут полезны
в будущем для архитекторов, инженеров, геодезистов, ландшафтных дизайнеров и
других профессий.
К вашей цели с Виртуальным учителем
Аккаунт
Учёба