Правда ли, что математика – самый сложный предмет?Математика вызывает трудности у многих школьников. Но действительно ли её так трудно понять? Давайте разбираться вместе
Виртуальный
Учитель
Учитель
Разложение вектора по базису трёх векторов, не лежащих в одной плоскости
Вступление
В векторной алгебре и аналитической геометрии одной из ключевых задач является представление произвольного вектора через заданный набор базовых векторов. Когда мы переходим от плоскости к трёхмерному пространству, естественным обобщением понятия базиса становится упорядоченная тройка некомпланарных (не лежащих в одной плоскости) векторов.
Во многих прикладных задачах мы сталкиваемся с необходимостью:
- выразить сложную пространственную величину через более простые, «базовые» направления;
- перейти от геометрического описания к алгебраическому (координатному) представлению векторов;
- эффективно решать системы уравнений, связанные с векторными величинами;
- моделировать физические процессы (силы, поля, движения) в трёхмерной среде.
Именно для этого и нужно разложение вектора по базису — оно позволяет «разложить» любой вектор пространства на составляющие по трём независимым направлениям.
Какие темы нужно изучить, чтобы знать эту тему
Теория по теме Разложение вектора по базису трёх векторов, не лежащих в одной плоскости
Основные понятия и определения
- Компланарные векторы — векторы, которые лежат в одной плоскости или параллельны одной плоскости.
- Некомпланарные векторы — три вектора, не лежащие в одной плоскости (их нельзя совместить с одной плоскостью при откладывании от общего начала).
- Базис в трёхмерном пространстве — упорядоченная тройка некомпланарных векторов {|vector|a|}, {|vector|b|}, {|vector|c|}.
- Разложение вектора по базису — представление произвольного вектора {|vector|d|} в виде линейной комбинации базисных векторов: {|vector|d|}=x{|vector|a|}+y{|vector|b|}+z{|vector|c|},где x, y, z — коэффициенты разложения (координаты вектора d в данном базисе).
Теорема о разложении вектора по базису
Утверждение: любой вектор {|vector|d|} трёхмерного пространства можно разложить по заданной тройке некомпланарных векторов {|vector|a|}, {|vector|b|}, {|vector|c|}, причём это разложение единственно.
Обоснование:
- некомпланарность гарантирует, что векторы «покрывают» всё пространство;
- единственность следует из линейной независимости базисных векторов (ни один из них не выражается через два других).
Прямоугольная система координат в пространстве задана, если выбрана точка – начало координат, через эту точку проведены три попарно перпендикулярные прямые, на каждой из них выбрано направление (оно обозначается стрелкой) и задана единица измерения отрезков.
Прямые с выбранными на них направлениями называются осями координат, а их общая точка – началом координат.
ось абсцисс
ось ординат
ось аппликант
z
x
x
0
Разложение вектора по базису трёх векторов в декартовой системе координат
- в декартовой системе координат стандартный базис образуют орты {|vector|i|}, {|vector|j|}, {|vector|k|}.
На каждой из положительных полуосей можно отложить единичный вектор. Длина такого вектора равна единице.
{|vector|i|} - единичный вектор оси абсцисс;
{|vector|j|} - единичный вектор оси ординат;
{|vector|k|} - единичный вектор оси аппликат;
Очевидно, эти векторы не компланарны. Поэтому любой вектор {|vector|a|} можно разложить по координатным векторам, т. е. представить в виде:
{|vector|a|}=x{|vector|i|}+y{|vector|j|}+z{|vector|k|},
причём коэффициенты разложения х, у, z определяются единственным образом.
k
i
j
x
y
z
0
Нулевой вектор можно представить в виде:
{|vector|0|}=0{|vector|i|}+0{|vector|j|}+0{|vector|k|},
Интересные факты
Умение раскладывать вектор по базису востребовано в:
- физике и механике — разложение сил, скоростей, ускорений, напряжённостей полей по произвольным осям;
- робототехнике и навигации — пересчёт координат между локальными системами отсчёта звеньев манипулятора или движущегося объекта;
- компьютерной графике и CAD — работа с неортогональными системами координат, текстурирование, деформации;
- материаловедении и кристаллографии — описание анизотропных свойств сред в базисе кристаллической решётки;
- анализе данных и машинном обучении — проектирование на базисы главных компонент, сжатие данных;
- инженерных расчётах — анализ напряжений и деформаций в сложных конструкциях.
Заключение
Овладение разложением вектора по базису — это переход от интуитивного геометрического представления к строгому алгебраическому инструменту работы с пространственными объектами. Теперь вы можете:
- выражать любой вектор через заданные базовые направления;
- переходить от чертежа к системе уравнений и обратно;
- работать с декартовыми системами координат;
- решать прикладные задачи, где естественные оси совпадают с каноническим базисом {i,j,k}.
Продолжая изучение линейной алгебры и геометрии, вы будете регулярно использовать это умение как базовый элемент анализа и моделирования трёхмерных структур и процессов. Чтобы закрепить материал, решите несколько заданий от Виртуального Учителя.
К вашей цели с Виртуальным учителем
Аккаунт
Учёба
Статистика