Свойство медиан треугольника

В этом конспекте мы рассмотрим понятие медианы треугольника и основные свойства, которыми она обладает. Медианы треугольника — это отрезки, соединяющие вершины треугольника с серединами противоположных сторон. Они играют важную роль в геометрии и помогают решать различные задачи. 

Мы изучим основное свойство медиан, их взаимосвязь с другими элементами треугольника, а также разберём доказательство теоремы.

Попробуем проверить эту теорему на нескольких треугольниках

Как мы видим, это свойство медиан справедливо для любых треугольников.

Давайте докажем, что точка пересечения делит медианы в пропорции 2:1:

Рассмотрим произвольный треугольник ABC с медианами AD, CF и BE, которые пересекаются в точке M.

Докажем, что {|frac|AM|MD|}={|frac|BM|ME|}={|frac|CM|MF|}={|frac|2|1|}.

Проведём среднюю линию △ABC ED. 

Так как ED{|parallel|}AB, а AD - секущая, то ∠EDA=∠DAB как накрест лежащие.

Значит △EMD~△BMA по двум углам. А из этого следует, что стороны треугольника пропорциональны:

{|frac|AM|MD|}={|frac|BM|ME|}={|frac|AB|ED|}. Но мы помним, что средняя линия равна половине основания. Значит:

{|frac|AM|MD|}={|frac|BM|ME|}={|frac|CM|MF|}={|frac|2|1|}. Что и требовалось доказать!

Рассмотрим чертёж:

В произвольном треугольнике ABC провели 2 медианы AD и CE.

Затем, провели прямую BF.

Мы видим, что прямая проходит через вершину В и точку пересечения медиан F, значит BG - медиана!

В конспекте были рассмотрены свойства медиан треугольника. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом, и делятся ей в отношении 2:1, считая от вершины. Это важное свойство позволяет использовать медианы для решения различных геометрических задач. Медианы также делят треугольник на шесть равновеликих треугольников. Знание свойств медиан может быть полезно при решении задач по геометрии и в других областях математики.