Расстояние между точками на координатной плоскости. Координаты середины отрезка

В этом конспекте мы рассмотрим, как вычислять расстояние между двумя точками на координатной плоскости. Вы узнаете формулу для расчёта расстояния и научитесь применять её для решения задач.

Понимание того, как находить расстояние между точками, важно для многих областей математики, физики и инженерии. Этот навык поможет вам решать задачи, связанные с координатами, векторами и графиками функций.

Мы разберём несколько примеров и задач, чтобы вы могли лучше усвоить материал. Успехов в изучении!

Расстояние между точками с координатами A(x{|index|a|};y{|index|b|}) и B(x{|index|b|};y{|index|b|}) равно:

Давайте докажем эту формулу.

Пусть даны 2 точки A(x{|index|a|};y{|index|a|}) и B(x{|index|b|};y{|index|b|}) на координатной плоскости, которые не совпадают. Значит x{|index|a|}≠x{|index|b|} и y{|index|a|}≠y{|index|b|}.

Проведём через эти точки горизонтальные прямые. Они пересекутся в точке С.

Мы получили прямоугольный треугольник ABC. У которого:

- гипотенуза AB;

- катет AC={|abs|y{|index|b|}-y{|index|a|}|};

- катет CB={|abs|x{|index|b|}-x{|index|a|}|};

Модули мы применили потому, что не знаем взаимное расположение точек A и B, а длина отрезка не может быть отрицательной.

Теперь применим теорему Пифагора для △ABC.

Получим {|abs|x{|index|b|}-x{|index|a|}|}{|pow|2|}+{|abs|y{|index|b|}-y{|index|a|}|}{|pow|2|}=AB{|pow|2|}...

Обратите внимание, что модуль любого числа в квадрате равен самому числу в квадрате {|abs|k|}{|pow|2|}=k{|pow|2|}. 

Следовательно, наше выражение приобретает вид: (x{|index|b|}-x{|index|a|}){|pow|2|}+(y{|index|b|}-y{|index|a|}){|pow|2|}=AB{|pow|2|}.

Или можем записать что AB={|root|(x{|index|b|}-x{|index|a|}){|pow|2|}+(y{|index|b|}-y{|index|a|}){|pow|2|}|}.

Есть одна важная точка, координаты которой можно легко вычислить. Эта точка - это середина отрезка.

Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.

Рассмотрим отрезок AB с координатами  и .

Найдём полусумму абсцисс, это будет координата по оси х точки С:

x{|index|c|}={|frac|x{|index|a|}+x{|index|b|}|2|}.

Аналогично можно найти полусумму ординат, это будет координата по оси y точки С:

y{|index|c|}={|frac|y{|index|a|}+y{|index|b|}|2|}.

Координаты середины отрезка будут:

С({|frac|x{|index|a|}+x{|index|b|}|2|};{|frac|y{|index|a|}+y{|index|b|}|2|}).

В этом конспекте мы изучили формулу для вычисления расстояния между двумя точками на координатной плоскости. Этот навык является важным инструментом для решения различных задач в математике, физике и инженерии. Вы научились применять формулу для нахождения расстояния, что поможет вам в решении задач, связанных с координатами, векторами и графиками функций. Успехов в практике и применении полученных знаний!