Как преодолеть тревожность на экзамене?Как быть, если волнение или тревожность мешают Вам сосредоточиться? Несколько простых действий вернут Вас в состояние покоя. Читайте, что нужно делать, в нашей статье.
Виртуальный
Учитель
Учитель
Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам
Вступление
Продолжаем
изучать новую тему векторы. Вы узнаете определения, которые имеют коллинеарные
векторы и коэффициент разложения. Вы также познакомитесь с новыми леммами и
теоремами, а также с их доказательствами. Вы узнаете больше точек
соприкосновения алгебры и геометрии, в частности использование алгебраических
методов в геометрии. Векторы помогут лучше понять координатные методы в
геометрии. Давайте же приступим к изучению новой темы разложение вектора.
Какие темы нужно изучить, чтобы знать эту тему
Теория по теме Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам
Как
Вы помните вектор – направленный отрезок,
и множество всех равных направленных отрезков. Познакомимся с новой леммой и
определением коллинеарных векторов.
Если
два вектора коллинеарны, то существует такое число, что при умножении первого
вектора на это число получается второй.
–
коэффициент, зависящий от направления векторов и отношения их длин.
Соответственно,
коллинеарные векторы – те векторы, которые лежат вдоль параллельных прямых.
Пусть есть два неколлинеарных вектора , докажем,
что любой третий вектор лежащий
в той же плоскости представим ровно в одном разложении по данным двум векторам.
Теорема: На плоскости любой вектор можно
разложить по двум неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения
единственные.
Докажем это, рассматривая все возможные случаи.
- Пусть или , то получается, что , причем или a или b равны нулю, так как , если , а значит b=0. И a, и b называют коэффициент разложения.
- Пусть вектор не коллинеарен ни одному из двух данных. Тогда проведем прямую параллельную вектору через конец вектора .
Затем проведем прямую параллельную прямую вектору через начало вектора .
Получился треугольник, у которого две стороны параллельны выбранным векторам, а третья - вектор . Значит такое разложение существует.
p
y
x
a
x
b
y
p
- Докажем, что такое разложение единственное. Пойдем от противного, пусть есть две пары коэффициентов разложения вектора на неколлинеарные вектора , .
Вычитая одно разложение из другого получаем следующее равенство:
. Из этого следует, что либо коэффициенты равны, либо вектора коллинеарны, всё это приводит к противоречию. Что и требовалось доказать.
Заключение
Сегодня Вы узнали очень важную и крайне полезную теорему о
единственности разложения вектора по паре неколлинеарных векторов. С её помощью
Вам также будет проще знакомиться с базисом векторов, решать различные задачи с
использованием векторов и доказывать более сложные теоремы и леммы. И теперь
для закрепления полученных знаний приступайте к решению задач.
К вашей цели с Виртуальным учителем
Аккаунт
Учёба