Свойство описанного четырёхугольника

Описанный четырёхугольник — это четырёхугольник, все стороны которого являются касательными к окружности. В этом конспекте мы рассмотрим основное свойство описанных четырёхугольников и научимся применять их для решения задач.

Основные понятия и теоремы, связанные с описанными четырёхугольниками, помогут вам лучше понять их свойства и использовать их в решении геометрических задач.

Основное свойство описанного четырёхугольника:

Если четырёхугольник описан около окружности, то суммы длин его противоположных сторон равны.

Давайте, попробуем это доказать.

Рассмотрим четырёхугольник ABCD, описанный около окружности, и обозначим буквами E, F, G, H – точки касания сторон четырёхугольника с окружностью

Мы знаем, что отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны.

Значит AH=AE, BE=BF, CG=CF и DG=DH.

Сложим эти равенства:

AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH

Также мы знаем, что AD=AH+DH, AB=AE+BE, BC=BF+CF и CD=CG+DG. 

Очевидно, что:

AB+CD=AD+BC.

Значит, суммы противоположных сторон описанного четырёхугольника равны!

В данном конспекте мы рассмотрели основное свойство описанных четырёхугольников, включая ключевое свойство равенства сумм противоположных сторон. Это свойство является фундаментальным для решения задач, связанных с описанными четырёхугольниками, и находит применение в различных областях, таких как геометрия, инженерия и архитектура. Понимание этих свойств позволит более эффективно решать геометрические задачи и упростит расчёты в практических приложениях.