Третий признак равенства треугольников

Продолжая изучать признаки равенства треугольников, Вы сегодня познакомитесь с последним признаком, Вы узнаете третий признак равенства треугольников. Этот признак не требует равенства углов в треугольниках, как в предыдущих двух, поэтому он очень важен. В задачах не всегда есть пары равных углов, в таком случае именно третий признак равенства треугольников сможет Вам помочь. Так давайте разберёмся, что такое третий признак равенства треугольников.

ABC и A{|index|1|}B{|index|1|}C{|index|1|} равные треугольники.

Говорят, что они равны по трём сторонам. 

Давайте докажем, что если стороны одного треугольника равны сторонам другого, то такие треугольники равны.

Рассмотрим 2 треугольника: , у которых равны стороны AB=A{|index|1|}B{|index|1|}, AC=A{|index|1|}C{|index|1|} и BC=B{|index|1|}C{|index|1|}. 

Приложим треугольник △ABC к △A{|index|1|}B{|index|1|}C{|index|1|} так, чтобы стороны AB и A{|index|1|}B{|index|1|} совпали.

В зависимости от того, какие исходные треугольники, могут быть 3 разных случая. Все они представлены ниже на чертежах.

Докажем третий признак равенства треугольников: △ABC=△A{|index|1|}B{|index|1|}C{|index|1|}.

AC=A{|index|1|}C{|index|1|} по условию, а это значит, что △CAC{|index|1|}-равнобедренный. У равнобедренного треугольника углы у основания равны, значит ∠ACC{|index|1|}=∠AC{|index|1|}C. 

Аналогично:

CB=C{|index|1|}B{|index|1|} по условию, а это значит, что △CBC{|index|1|}-равнобедренный. У равнобедренного треугольника углы у основания равны, значит ∠BCC{|index|1|}=∠BC{|index|1|}C.

Легко подсчитать, что ∠ACB=∠A{|index|1|}C{|index|1|}B{|index|1|} так как равны сумме равных углов (∠ACB=∠ACC{|index|1|}+∠BCC{|index|1|}, ∠A{|index|1|}C{|index|1|}B{|index|1|}=∠AC{|index|1|}C+∠BC{|index|1|}C).

Теперь ещё раз посмотрим на △ABC и △A{|index|1|}B{|index|1|}C{|index|1|}.

- AC=A{|index|1|}C{|index|1|} по условию;

- CB=C{|index|1|}B{|index|1|}по условию;

- ∠ACB=∠A{|index|1|}C{|index|1|}B{|index|1|} это мы только что доказали;

Получаем, что △ABC=△A{|index|1|}B{|index|1|}C{|index|1|} по первому признаку равенства треугольников (по 2 сторонам и углу между ними). 

Третий и последний признак равенства треугольников важен для решения задач.

Он помогает искать равные треугольники, например, при проведении медианы в равнобедренном треугольнике или наоборот доказывать неравенство двух треугольников в других задачах.

Теперь Вы узнали последний, третий признак равенства треугольников. Вы узнали, что треугольники, равные по этому признаку, называются равными по трём сторонам. Все три признака равенства треугольников позволяют быстро найти равные треугольники. Поиск равных треугольников очень важная тема в геометрии. Вам стоит выполнить задания на признаки равенства треугольников и третьего признака, чтобы закрепить полученные знания.