Правда ли, что математика – самый сложный предмет?Математика вызывает трудности у многих школьников. Но действительно ли её так трудно понять? Давайте разбираться вместе
Виртуальный
Учитель
Учитель
Следствие из теоремы синусов про радиус описанной окружности
Вступление
Теорема синусов один из ключевых инструментов решения треугольников, позволяющий устанавливать связь между сторонами фигуры и синусами противолежащих углов. Однако её значение выходит за рамки простой пропорциональности: из теоремы вытекает важное следствие, связывающее элементы треугольника с радиусом описанной окружности.
Это следствие открывает новые возможности для решения геометрических задач: зная лишь одну сторону треугольника и синус противолежащего угла, можно найти радиус описанной окружности — и наоборот. В данном конспекте мы детально разберём формулировку следствия, выведем основную формулу, рассмотрим доказательства для разных типов треугольников (остроугольного, тупоугольного и прямоугольного) и отработаем применение на практических примерах.
Какие темы нужно изучить, чтобы знать эту тему
Теория по теме Следствие из теоремы синусов про радиус
Напомним, что теорема синусов: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
У этой теоремы есть важное следствие:
{|frac|a|{|sin|α|}|}={|frac|b|{|sin|β|}|}={|frac|c|{|sin|γ|}|}=2R, где R- радиус описанной окружности вокруг треугольника.
Можно ещё записать так: R={|frac|a|2*{|sin|α|}|}.
Для доказательства, нам нужно будет рассмотреть 3 типа треугольников (остроугольный, тупоугольный и прямоугольный).
1. Рассмотрим случайный остроугольный треугольник ABC, который вписан в окружность с острым углом A.
Проведём прямую через вершину С и центр окружности О.
D
b
c
a
β
γ
α
A
C
O
B
Получили диаметр CD.
Так как угол CBD опирается на диаметр, он прямой ∠CBD=90°.
∠CAB=∠CDB=α так как оба вписанные и опираются на дугу CB.
В прямоугольном треугольнике CBD, гипотенуза CD=2R.
CB=CD*{|sin|α|} или a=2R*{|sin|α|}{|=>|}R={|frac|a|2*{|sin|α|}|}.
Для остроугольного треугольника доказано!
2. Теперь, давайте рассмотрим прямоугольный треугольник, вписанный в окружность.
a
D
C
A
O
Угол А - прямой.
DC=2R так как гипотенуза является диаметром окружности.
R={|frac|DC|2|}={|frac|DC|2={|sin|90°|}|}={|frac|a|2*{|sin|α|}|}. Формула доказана для прямого угла.
Осталось доказать для тупоугольного треугольника.
3. Рассмотрим произвольный тупоугольный треугольник, вписанный в окружность.
D
α
a
B
C
A
O
Проведём прямую, соединяющую центр окружности и вершину С.
Получим диаметр DC.
∠DBC=90° так как вписанный угол, который опирается на диаметр.
Пользуясь свойством вписанного четырёхугольника, в четырёхугольнике BACD сумма противоположных углов равна 180°. Это значит, что ∠BDA=180°-α.
Пользуясь формулами приведения: {|sin|180°-α|}={|sin|α|}.
В прямоугольном треугольнике DBC DC={|frac|BC|{|sin|180°-α|}|} {|=>|} 2R={|frac|а|{|sin|α|}|}.
Следовательно, для всех видов треугольников справедлива формула:
R={|frac|a|2*{|sin|α|}|}.
Заключение
Мы детально разобрали следствие из теоремы синусов, связывающее стороны треугольника, синусы противолежащих углов и радиус описанной окружности.
Помните: ключевая сила этого следствия — в его универсальности. Оно работает для любого треугольника (остроугольного, тупоугольного, прямоугольного) и позволяет переходить от линейных элементов к угловым через радиус окружности.
Закрепите материал, решив несколько задач от Виртуального Учителя. Чем чаще вы будете применять формулу на практике, тем увереннее будете чувствовать себя при решении геометрических задач на экзаменах.
0
Аккаунт
Учёба
Статистика