Почему время учить математику именно в школе?Взрослые часто любят говорить: «Всему своё время.» А мы с уверенностью готовы утверждать, что лучшее время для изучения математики именно в школе!
Виртуальный
Учитель
Учитель
Теорема косинусов
Вступление
На данном занятии Вы познакомитесь с новой темой теорема косинусов. Вы уже знаете, что такое теорема Пифагора для прямоугольных треугольников, а теорема косинусов – расширенная версия для всех возможных треугольников, включая прямоугольные. Мы докажем верность этой теоремы, Вы вспомните, что такое косинус, и узнаете, что такое теорема косинусов для треугольника. Все новые знания помогут Вам для решения простых и сложных задач. Давайте приступим к изучению нового материала.
Какие темы нужно изучить, чтобы знать эту тему
Теория по теме Теорема косинусов
Теорема косинусов: квадрат одной стороны равен разности суммы квадратов двух других сторон и удвоенного произведения этих сторон на косинус противолежащего угла.
a{|pow|2|}=b{|pow|2|}+c{|pow|2|}-2bc*{|cos|∠BAC|}
α
x
y
a
c
b
C
B
A
Докажем это важное геометрическое соотношение в треугольнике. Будем использовать метод прямого доказательства.
- Введем прямоугольную систему координат. Такую, что вершина треугольника A лежит в начале координат, а вершина B лежит на оси Ox.
- Докажем, что BC{|pow|2|}=AB{|pow|2|}+AC{|pow|2|}-2*AB*AC*{|cos|∠BAC|}.
- Заменим стороны на a, b, c. И найдем координаты точкиC-(b*{|cos|α|};b*{|sin|α|}). При 0°<α<180°.
- Найдем длину отрезка BC в координатах: BC{|pow|2|}=a{|pow|2|}=(b*{|cos|α|}-c){|pow|2|}+b{|pow|2|}*{|sin|α|2|}=b{|pow|2|}*{|cos|α|2|}+b{|pow|2|}*{|sin|α|2|}-2bc{|cos|α|}+c{|pow|2|}=b{|pow|2|}({|cos|α|2|}+{|sin|α|2|})-2bc{|cos|α|}+c{|pow|2|}
- {|cos|α|2|}+{|sin|α|2|}=1 - основное тригонометрическое тождество. Значит:
- a{|pow|2|}=b{|pow|2|}+c{|pow|2|}-2bc{|cos|α|}, что и требовалось доказать.
Мы доказали равенство
Это соотношения между сторонами и углами треугольника, используя косинус угла и длины сторон, позволяет также рассчитывать треугольники.
Теорема косинусов также именуется обобщенная теорема пифагора.
Заключение
Вы сегодня узнали, что такое теорема косинусов для треугольника, вспомнили системы координат, косинус угла, и основное тригонометрическое тождество при доказательстве теоремы косинусов. Все полученные сегодня знания помогут Вам при решении самых разных задач, начиная с задач на расчет основных параметров треугольника и заканчивая доказательством сложных теорем. Для закрепления новых знаний Виртуальный Учитель подготовил Вам задачи для закрепления материала. Решите их и Вы сможете лучше запомнить сегодняшний материал.
К вашей цели с Виртуальным учителем
Аккаунт
Учёба